1. Достаточо часто при решении иррациональных неравенств после преобразований получаютлучают неравенство вида > В этом случае обе части неравенства положительны и их можно возводить в квадрат. Возведение обеих частей в квадрат в общем случае позволяет получить неравенство, которое является следствием данного. Чтобы отсеять посторонниие решения находят ОДЗ исходного (данного) неравенства и находят пересечение этих множеств.

Пример 1. Решить иррациональное неравенство. >

Решение.

1) Найдем ОДЗ. x + 5 0 и 20 - x 0;

-5 x 20, следовательно, ОДЗ - [-5; 20] (1)

2) Возведем обе части неравенства в квадрат. x + 5 > 20 - x;

2x > 15; x > 7,5, следовательно решение этого неравенства - (7,5; +) (2).

3) Найдем пресечение множеств (1) и (2), это будет множество (7,5; 20].

Ответ: (7,5; 20]

Можно поступить иначе, сразу заменить исходное неравенство системой неравенств и решать полученную систему неравенств.
Заметим, что f(x) > g(x) и g(x)0, значит в силу транзитивного сойства неравенств, всюду, где выполняются указанные неравенства, f(x)0 и поэтому систему можно заменить другой системой такая замен существенно упрощает решение иррационального уравнения.

Пример 2. Решить неравенство >

4 - x² > x + 5;
x + 50;

x² + x + 1 < 0;
x-5;

Квадратный трехчлен x² + x + 1 имеет положительный старший коэффициент и отрицательный дискриминант, следовательно, он принимает только положительные значение, а это значит, что неравенство x² + x + 1 < 0; решений не имеет. Решение системы есть пустое множество.

Ответ: x

Пример 3. Решить неравенство

Решение.

Составим систему неравенств.

x³ + x² + x + 2 0,
x² + x + 100,
x³ + x² + x + 2 > x² + x + 10;

Так как первое неравенство является следстствие второго и третьего неравенств, его можно опустиь.

x² + x + 100,
x³ + x² + x + 2 > x² + x + 10;

x² + x + 100,
x³  > 8;

У квадратного трехчлена a = 1 и D = -39, следовательно, он принимает положительные значени на всей области определения.

(-; +),
(2; +);

Ответ: (2; +).

2. Теперь рассмотрим уравнения вида > g(x). Поскольку левая часть неравенства может принимать как положительные так и отрицательные значения, то возводить без определенных условий обе части в квадрат нельзя. Мы должны рассмотреть два случая: g(x) < 0 и g(x) > 0, то есть неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств.

Так как g(x) > 0, то (g(x))² > 0 и, в силу транзитивного свойства неравенств, во второй системе первое неравенство можно опустить.

Пример 4. Решить неравенство > x + 1.

1. Решим первую систему.

x + 3 0,
x + 1 < 0;

x -3,
x < -1;

Решением этой системы является х[-3; -1).

l. Решим вторую систему.

x + 3 0,
x + 1  0;
x + 3 > (x + 1)²:

x -1;
x + 3 > x² + 2x +1;

x -1;
x² + x - 2 < 0;

У квадратного трехчлена x² + x - 2  a = 1, D = 1 + 8 = 16 > 0, x₁ = -2, x₂ = 1.

x -1;
-2 < x < 1;

Решение второй системы x[-1; 1). Объеденив два полученных множества, получим множество являющееся решением иррационального уравнения х [-3; 1).

Ответ: [-3; 1).

.

3. Неравенства вида < g(x). Из определения квадратного корня следует, что 0, поэтому g(x) > 0. Тогда

Неравенство g(x) > 0 в этой системе  опустить в общем случае нельзя.

Пример 5. Решить неравенство 2x - 2.

x² - 5x + 4 0,
2x - 20;
x² - 5x + 4 (3x - 3)²;

x 1 x 4,
x 1;
(x - 1)(x - 4) 4(x - 1) ²;

x 1 или x 3,
x 1;
(x - 1)((x - 3) - 4(x - 1))0;

x 1 или x 3,
x 1;
(x - 1)(- 3x + 1)0;

x 1 или x 3, (1)
x 1,                   (2)
x 1 или x. (3)

Ответ: {1}[4; +)

4. Неравенство вида + > m(x). Чтобы избавиться от иррациональности в таких неравенствах приходится несколько раз возводить в квадрат обе части неравенства, при этом мы должны учитывать, что возводить в квадрат обе части неравенства можно в тех случаях, когда обе части либо положительны либо отрицательны (в последнем случае необходимо менять знак неравенства). Нужно также учитывать, что при возведении в квадрат может произойти расширение ОДЗ, что приведет к появлению посторонних решений, их нужно отсеять.

 

Пример 6. Решить неравенство -

Решение.

Найдем ОДЗ. Для этого нам необходимо решить систему неравенств.

x0,
10 - x0;
x - 50;

x0,
x10; 5 x10.
x 5;

Перенесем второе слагаемое в левую часть неравенства + , тогда при любом значении переменной из ОДЗ обе части положительны. Возведем их в квадрат.

x + x - 5 + 2 10 - x;

2 15 - 3x;

В данном конкретном случае можно, по моему мнению, отклонится от стандартной схемы и вот почему. В правой части неравенства задана линейная функция t(x) = 15 - 3x, заданная на промежутке [5; 10]. Её угловой коэффициент k = -3, следовательно, она убывает и так как на концах промежутка она принимает соответственно значения t(5) = 0, t(10) = -15, то на указанном промежутке t(x)0. На этом же промежутке 0 и 0 (из определения квадратного корня), следовательно, на указанном промежутке неравенство 2 15 - 3x   верно.

Ответ: [5; 10].