Равенство, тождество, уравнение.

  Знак равенства используется в математике очень часто, и смысл, который придается этому знаку, далеко не всегда один и тот же. Так, часто мы соединяем знаком равенства два числа, например:

  1370 = 3²·5·31 (1);

 (2);

 (3);

 (4)

  Каждая такая запись представляет собой некоторое высказывание, которое может быть истинным или ложным. Среди приведенных выше четырех высказываний такого рода второе, третье и четвертое  являются истинными, а первое — ложным.

   Для того чтобы убедиться в истинности (или ложности) такого высказывания, нередко бывает нужно произвести те или иные действия: сложение дробей, разложение на множители, возведение суммы двух чисел в квадрат и т. п. Однако смысл знака равенства во всех этих случаях один и тот же: истинность такого высказывания означает, что слева и справа от знака равенства стоит одно и то-же число (только, может быть, записанное по-разному).

  Высказывания такого вида мы будем называть числовыми равенствами. Если некоторое числовое равенство представляет собой истинное высказывание, то для краткости говорят: «это — верное равенство». Так, равенство (2) — верное. Если же некоторое числовое равенство представляет собой ложное высказывание, то для краткости говорят: «это—неверное равенство». Так, (1) —неверное равенство.

   В ином смысле применяется знак =, когда идет речь о равенстве функций. Напомним, что две функции f (х) и g (х) считаются равными (т. е. совпадающими), если, во-первых, области определения этих двух функций совпадают и, во-вторых, для любого числа х₀, принадлежащего общей области определения этих функций, значения функций в точке х₀ совпадают, т. е. верно числовое равенство f (х₀) = g(x₀). Равенство функций (х) и g(x) обычно выражают записью f(x) = g(x).

   Например, мы пишем (х² + 1)⁶ = х³ + Зx⁴ +. Зx² + 1, выражая этой записью тот факт, что слева и справа от знака = стоят равные функции (т. е. слева и справа стоит одна и та же функция, только, может быть, записанная по-разному).

   В записи, выражающей равенство (т. е. совпадение) двух функций, вместо знака = часто используют знак, называемый знаком тождественного равенства.
Запись f(x)g(x) означает совпадение функций f(х) и g(x). Запись равенства двух функций (т. е. соотношение f(х) = g{x) или f(x)g(x)) называют также тождеством.

   Подчеркнем еще раз: когда мы говорим, что f(x) = g(x) есть тождество, то это означает, что области определения функций f(х) и g(х) совпадают и при этом для любого  х₀, принадлежащего этой области определения, справедливо числовое равенство f(x₀) = g(x₀).

   Примерами тождеств могут служить соотношения:

  (x + 1)² = x² + 2x + 1,

   log₂ 2^х = х,

   sin²x= 1 - cos²x.

   и др.

   Иногда при рассмотрении тождеств приходится ограничивать области определения функций. Именно, будем говорить, что равенство f(x) = g(x) является тождеством на множестве М, если, во-первых, множество М содержится в области определения каждой из функций f(x), g (х) и, во-вторых, для любого числа х₀, принадлежащего множеству М, справедливо числовое равенство f(x₀) = g (x₀) В этом случае пишут:

  f{x)g(х) на множестве М или f(x) = g{x) при хМ.

  . Пример 1. Равенствоявляется тождеством на множестве неотрицательных чисел, т. е.x  при х0.

  Заметим, что обе функции y=и y = х определены на множестве всех действительных чисел, но значения их совпадают лишь на множестве неотрицательных чисел. На множестве всех действительных чисел соотношениетождеством не является.

   Пример 2. Рассмотрим равенство arcsin(sinx) =. Обе функции (стоящие в левой и правой частях равенства) определены на множестве всех действительных чисел. Однако написанное равенство является тождеством лишь на отрезке [0,], т. е. arcsin(sin x) =при 0x   Разумеется, при написании тождеств вовсе не обязательно обозначать аргумент функций буквой х. Можно аргумент обозначить буквой z, буквой а или любым другим символом.

   Так, соотношения

  (z + 7)² = z² - 14z + 49,

   (а — 1)(а² + а + 1) = а³ — 1

   являются тождествами на множестве всех действительных чисел (или даже на множестве всех комплексных чисел), Можно также рассматривать функции, зависящие от двух или большего числа аргументов, и писать тождества для таких функций. Конечно, и в этом случае надо указывать, при каких значениях аргументов написанное равенство является тождеством.

   Например, равенство log₂ a^b = b log₂ a является тождеством при а > 0 и любом действительном b;  равенство

  является тождеством при x+k,  y+n, x + y+m, где k, n m —любые целые числа, и т. д.

   Мы рассмотрели два случая использования знака = в алгебре: для записи числовых равенств и для записи тождеств (в последнем случае он иногда заменяется знаком  ?. В совершенно ином смысле используется знак = при рассмотрении уравнений. Уравнение с одним неизвестным х в общем случае записывается в виде

   f(x) = g(x),           (5)

   где f(х) и g(x) — произвольные функции, Таким образом, по внешнему виду уравнение выглядит так же, как и тождество: две функции, соединенные знаком равенства. Но когда мы говорим, что соотношение (5) есть уравнение, то это показывает наше отношение к этому равенству. Именно, когда мы говорим, что (5) есть уравнение, то это означает, что равенство (5) рассматривается как неопределенное высказывание (при одних значениях х истинное, при других—ложное), и мы интересуемся нахождением корней этого уравнения, т. е. таких значений х, при подстановке которых это неопределенное высказывание становится истинным. Более подробно, корнем (или решением) уравнения называется всякое число, при подстановке которого вместо неизвестного в обе части уравнения получается справедливое (верное) числовое равенство. Но что значит «получается справедливое числовое равенство»? Это означает, во-первых, что при подстановке этого числа вместо неизвестного все действия, обозначенные в левой и правой частях уравнения, оказываются выполнимыми и, во-вторых, в результате выполнения этих действий в левой и правой частях получается одно и то же число. Иначе говоря, число а называется корнем уравнения (5), если, во-первых, это число принадлежит как области определения функции f(x), так и области определения функции g(x) и, во-вторых, значения этих функций в точке а совпадают, т. е.
f(a) = g{a).

   Итак, если сказано, что равенство (5) рассматривается как уравнение, то это означает, что мы интересуемся нахождением корней этого уравнения, т. е. тех значений, которые обращают соотношение (5) в верное числовое равенство.

   Пример 3. Для уравнения (х - 1)² = х² - 2x + 1 любое действительное число b является корнем, так как равенство (b - 1)² = b² - 2b + 1 имеет место для любого действительного числа b.

   Пример 4. Если рассматривать уравнение |х| = х на множестве всех действительных чисел, то всякое неотрицательное число является корнем этого уравнения (других корней нет).

   Пример 5. Уравнение lgx = 1g(-х) не имеет решений, так как левая часть этого уравнения определена при положительных значениях х, а правая — при отрицательных, т. е. области определения левой и правой частей не имеют общих точек.

   Пример 6. Уравнение cosx = 2 не имеет решений на множестве действительных чисел, так как |cosx₀|1 для любого действительного числа х₀.

   Пример 7. Уравнение х² = -1 не имеет решений намножестве действительных чисел и имеет два решения, x = i и х = -i., на множестве комплексных чисел.

   Если найдена некоторая совокупность значений х, каждое из которых является корнем уравнения f (x)=g(x), то это еще не значит, что мы решили уравнение.

 Решить уравнение — значит найти все его решения (или доказать, что уравнение не имеет решений).

  Отметим, что бессмысленно ставить вопрос, «является ли равенство f(x) = g(x) тождеством или уравнением». Одно и то .же равенство f{x) = g(x) в различных условиях может рассматриваться и как тождество, и как уравнение. Если мы говорим, что f(х) = g(x) есть тождество», то непременно надо указывать, на каком множестве это равенство является тождеством. Фраза «f(x)=g(x) есть тождество на множестве М» есть некоторое утверждение, некоторое высказывание. Если же мы говорим, что рассматриваем уравнение f(x) = g(x), то мы, по существу, имеем дело с вопросительным предложением: мы ставим вопрос, каковы корни этого уравнения, т. е. каковы те значения х, которые обращают соотношение f(x) = g(x) в верное числовое равенство.

   Пример 8. Равенствоможно рассматривать и как тождество, и как уравнение. Если мы относимся к этому равенству как к тождеству, то наиболее полной формулировкой будет следующая: равенствоявляется тождеством при x > 0. Если же мы относимся к этому равенству как к уравнению, то это означает, что мы рассматриваем задачу: решить уравнениет. е. ставим вопрос о том, каковы корни этого уравнения. Ответ будет таков: корнями уравненияявляются все неотрицательные числа и только они.

   Пример 9. Бессмысленно ставить вопрос, является ли соотношение 0·x + 5 = 5 тождеством или уравнением. Мы можем сказать, что оно является тождеством на множестве всех действительных чисел. Но мы можем также рассматривать это соотношение как уравнение и тогда скажем, что корнями этого уравнения являются все действительные числа.

   Замечание. Кроме рассмотренных выше случаев использования знака = в математике встречаются и другие. Так, выражение вида «рассмотрим функцию f(x) = x³ — Зх² + 5x + 11» часто используется в качестве определения. В этом случае знак = имеет тот смысл, что всюду в проводимом рассуждении f (х) будет обозначать именно эту функцию.

перейти на следующую страницу