Математические предложения.

  В определениях математических понятий указываются такие свойства объектов, которые дают возможность распознать однозначным образом эти объекты, т. е. установить относительно любого объекта, принадлежит ли он к объему данного понятия или нет.

  Например, в определение диаметра круга входят такие свойства: 1) диаметр круга — это хорда; 2) диаметр круга проходит через центр круга. Если какой-либо объект удовлетворяет обоим этим свойствам, то его можно назвать диаметром круга; если же он не удовлетворяет хотя бы одному из этих свойств, то это не диаметр круга.

  Заметим, что в любом определении имеется элемент произвола: то, что, например, хорду круга, проходящую через центр, называют диаметром, является чисто условным, ибо мы могли бы ее назвать и каким-то другим именем. Произвольность проявляется и в выборе свойств, включаемых в определение. В данном случае мы могли бы включить в определение диаметра другие свойства, например такие: 1) диаметр — это отрезок, соединяющий точки окружности; 2) диаметр — это отрезок, проходящий через середину хорды; 3) диаметр — это отрезок, перпендикулярный этой хорде. Тогда определение диаметра было бы таким: «Диаметр круга — это отрезок, соединяющий точки окружности и проходящий через середину какой-либо хорды перпендикулярно к ней».

  Приняв то или иное определение данного математического понятия, мы приобретаем возможность логического выведения непосредственных следствий из этого определения по такой схеме: «Если какой-либо объект А является объектом определяемого понятия, то он обладает всеми теми свойствами, кототые указаны в его определении».

  Например, если мы знаем, что некий объект А есть диаметр круга и в качестве определения этого понятия было принято первое из указанных выше, то А есть хорда круга и А проходит через центр.

  Точно так же, если мы знаем, что некий объект А есть многочлен и многочлен определен нами как алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов, то А есть алгебраическое выражение и А есть сумма одночленов.

  Обратно, если нам известно, что некий объект А обладает всеми свойствами, которые указаны в определении понятия, называемого именем В, то мы можем назвать объект А именем В. Например, если мы знаем, что объект А является хордой и А проходит через центр круга, то А можно назвать диаметром круга. Точно так же, если мы знаем, что А есть алгебраическое выражение и А есть сумма одночленов, то А можно назвать многочленом.

  Однако ведь в содержание понятия входят много других свойств соответствующих объектов, кроме указанных в определении. Поэтому, чтобы иметь достаточно полное представление о понятии, надо знать не только его определение, но и другие, наиболее важные свойства объектов этого понятия.

  Тем более надо знать важнейшие свойства первичных (основных) понятий, ибо ведь им в математике вовсе не даются определения. Свойства первичных понятий математики были установлены в процессе многовековой практической деятельности людей и принимаются в математике без доказательства, т. е. без особого логического обоснования, их обоснованием служит человеческий опыт. Эти принимаемые нами свойства первичных понятий называются аксиомами (греческое слово, означающее значимое, достойное уважения, принятое).

  Вот примеры аксиом из курса геометрии:

• 1.Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие прямой.
• 2.Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
• 3.Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. И т. д.

  Эти аксиомы указывают свойства понятий: «точка», «прямая», «плоскость» — и отношений между ними: «принадлежит», «разбивает» — и служат косвенными определениями всех этих понятий. А именно: мы называем точками, прямыми, плоскостями и их отношениями: принадлежит, разбивает — такие объекты и их отношения, которые удовлетворяют этим и всем другим аксиомам геометрии.

  В школьной арифметике и алгебре обычно аксиомы в явном виде не формулируются, но, конечно, они имеются и там. Вот примеры аксиом, которыми вы всегда пользуетесь в своих рассуждениях:

• 1.Единица есть натуральное число, предшествующее всем другим натуральным числам.
• 2.За каждым натуральным числом непосредственно следует в натуральном ряду еще одно натуральное число.
• 3.Всякое число равно самому себе.
• 4.Если число а равно b, то и b равно а.
• 5. Если а равно b и b равно с, то а равно с. И др.

  Эти аксиомы косвенно определяют (характеризуют) исходные понятия: число, единица, натуральное число — и отношения между ними: предшествует, следует, равенство и др.

  Что касается важнейших свойств понятий, не являющихся основными, для которых введено какое-то логическое определение, то в математике все эти свойства доказываются, т. е. выводятся как логические следствия из определений, аксиом и ранее доказанных свойств.

  Эти доказываемые свойства определяемых понятий в математике называются по-разному. Большинство из них называются теоремами. Более простые теоремы называются следствиями, некоторые называются признаками. Так, например, теорему: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны» называют следствием из предшествующих теорем об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, а теорему: «Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу» — называют признаком параллельности прямых.

  В арифметике и алгебре доказываемые свойства называются формулами, тождествами, правилами. Но как бы ни назывались эти свойства, все они различаются лишь внешним образом, а по устройству, по составу они в основном одинаковыми. Развернутая формулировка всех этих математических предложений, которые для простоты мы будем называть теоремами, состоит из трех частей:

• разъяснительной части, в которой даются названия объектов, рассматриваемых в данной теореме;
• условие теоремы — это указание тех свойств объектов, принимаемых за истинные, которые нам даны;
• заключение теоремы — указание тех свойств, наличие которых нужно доказать.

  Рассмотрим, например, признак (теорему) делимости натурального числа на 3: «Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3». Здесь первая часть — это название рассматриваемого объекта: натуральное число; условие—сумма цифр числа делится на 3; заключение — число делится на 3.

  Другой пример: «Если у треугольника два угла равны, то он равнобедренный». Здесь разъяснительная часть — треугольник, условие — два его угла равны, заключение — треугольник равнобедренный.

  В ряде случаев такое развертывание содержания теоремы весьма трудно произвести. Возьмем, например, алгебраическое тождество:

  a² — b² = {a + b) (a - b)

  - Какие объекты здесь рассматриваются?

  - Можно по-разному ответить на этот вопрос, но наиболее подходящий ответ - алгебраические выражения.

  - Что о них нам известно, дано?.. Обратите внимание на левую часть тождества...

  - Это выражение представляет собой разность квадратов двух членов.

  - Что же нам нужно доказать?

  - Нужно доказать, что заданное выражение может быть представлено как произведение суммы этих членов на их разность.

  Следовательно, данное тождество можно сформулировать в виде следующей теоремы: «Если алгебраическое выражение представляет собой разность квадратов двух членов, то оно может быть представлено в виде произведения суммы этих членов на их разность».

  Еще пример теоремы: «Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную к ней прямую и только одну».

  В этой теореме объектом служит некоторая прямая и точка, условие состоит в том, что эта точка взята на прямой, заключение — существует прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к заданной прямой, притом такая прямая единственная. Или иначе: среди прямых, проходящих через данную точку, имеется одна и только одна прямая, перпендикулярная к заданной прямой.

  Как видим, анализ теоремы требует глубокого проникновения в ее содержание и хотя такой анализ иногда трудно выполнить, но он очень полезен: выполнив такой анализ, мы глубже начинаем понимать сущность теоремы. Результат анализа теоремы можно записать в краткой символической форме по схеме: дано — требуется доказать. Например, символическая запись последней теоремы будет такой:

  Дано: Аa.

 Доказать: существует прямая b, проходящая через точку А, такая, что ba, прямая b — единственная.

  Анализ содержания теоремы, составление ее развернутой формулировки и краткой символической записи помогают в составлении обратной теоремы, которая получается из данной путем перемены местами условия и заключения теоремы.

  Возьмем такую теорему: «Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис». Анализ теоремы позволяет ее записать в следующем виде:

 Дано: окружность центра О вписана в треугольник ABC.

 Доказать: ОА, ОВ, ОС — биссектрисыABC.

  Поменяв местами условие и заключение теоремы, не изменяя объект теоремы, получаем обратную теорему:

 Дано: ОА, ОВ, ОС — биссектрисыАВС.

 Доказать: О — центр окружности, вписанной вАВС.

  Получим верную (справедливую) теорему: «Точка пересечения биссектрис треугольника служит центром окружности, вписанной в этот треугольник».

  Заметим, что вопрос о том, какую из этих двух теорем считать прямой, а какую обратной, решается по-разному в зависимости от той системы теорем, которая принята в учебнике: можно считать прямой первую из этих теорем, а вторую — обратной, а можно и наоборот.

  Но это лишь в том случае, когда обе теоремы (прямая и обратная) справедливы. Если же обратная теорема неверна, то вопрос решается всегда однозначным образом: верную теорему называют прямой.

  Например, рассмотрим теорему: «Вертикальные углы равны». Ее символическая запись такая:

  Дано: углы А и В — вертикальные.

 Доказать: A =B.
Образуем обратную теорему:

 ДаноА =В.

 Доказать: углы А и В — вертикальные.

  Получим такую теорему: «Если два угла равны, то они вертикальные».

  Нетрудно убедиться, что это утверждение неверно, ибо можно указать много равных углов, не являющихся вертикальными. Поэтому в данном случае- прямой теоремой можно назвать только первое суждение.

  Развернутая формулировка теоремы позволяет выразить ее в понятиях необходимых и достаточных условий. Обычно теорему можно представить как закономерную связь двух суждений — условия А и заключения В в таком виде:

  если А, то В или AB.

  Если эта теорема верна, то в математике принято говорить еще так: А есть достаточное условие для В, а В есть необходимое условие для А.

  Например, теорема: «Диагонали прямоугольника равны» — состоит из таких суждений: Условие А — четырехугольник есть прямоугольник,заключение В — диагонали четырехугольника равны.

  «Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали равны». Так как эта теорема верна, то связь между суждениями А и В можно выразить еще и так:
1)Для того чтобы диагонали четырехугольника были равны, достаточно, чтобы он был прямоугольником.
2)Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы его диагонали были равны.

  Рассмотрим теперь обратное утверждение: если В, то А, т. е.: «Если в четырехугольнике диагонали равны, то он является прямоугольником». Очевидно, что это суждение неверно, ибо можно указать четырехугольники с равными диагоналями, напрA =B.
Образуем обратную теорему:я необходимым для В. В результате получаем, что А является достаточным, но неА =В.
Доказатьтырехугольник был прямоугольником), а В является необходимым, но недостаточным условием для А (для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, но недостаточно, чтобы его диагонали были равны).

  Обратите внимание на следующее наблюдение, если теорему сформулировать несколько иначе, а именно принять за ее объект не четырехугольник, а параллелограмм, т. е.: «Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны», то обратная ей теорема: «Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником» — будет верна. В этом случае условие А окажется не только достаточным, но и необходимым для заключения В и В окажется не только необходимым условием для А, но и достаточным, т. е.:

 1)Для того чтобы диагонали параллелограмма были равны, необходимо и достаточно, чтобы он был прямоугольником.

  2) Для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равными.

  Таким образом вы, вероятно, убедились, что каждому из вас полезно уметь:

• вычленять из формулировки теорем (формул, тождеств, правил и т. д.) их Объекты, условия и заключения;
• представить теорему в развернутой условной форме: «если А, то В»;
• записывать теоремы в краткой символической форме;
• строить для данной теоремы ей обратную и устанавливать ее справедливость;
• переводить формулировку теоремы на язык необходимых и достаточных условий.

  Конечно, все это надо делать не для каждой теоремы, но все эти умения очень важны.

Перейти к следующей странице