Решение уравнений с параметром.

 Задание 1. Найдите все значения m, при которых уравнение 3sin³x = m + 5cos2x имеет решение.

 Решение.

  Данное уравнение, да и все уравнения с параметрами, можно рассматривать как множество уравнений заданного типа, иными словами, нам дан класс уравнений заданного типа. Нужно установить зависимость между значениями параметра и существованием или отсутствием решения уравнения. Фактически, мы должны перебрать все возможные варианты уравнений заданного типа и произвести классификацию этих уравнений по наличию или отcутствию решений, выделить из данного класса уравнений два подкласса уравнений, один - все уравнения имеющие решения, другой - все уравнения, которые не имеют решения.

  Напрашивается следующий план действий. Перенесем слагаемое + 5cos2x из правой части в левую, не забыв поменять его знак, 3sin³x - 5cos2x = m.

 Рассмотрим функцию f(x) = 3sin³x - 5cos2x. Она определена на множестве всех действительных чисел. Найдем множество ее значений, для для этого упростим формулу задающую функцию.

  Так как cos²x=1 - sin²x, то

  f(x) = 3sin³x + 5sin²x - 5; .

  3sin³x + 5sin²x = sin²x(3sinx + 5) (*)

  а) -1 ≤ sinx ≤ 1; умножим все части неравенства на 3 получим

  -3 ≤ 3sinx ≤ 3, прибавим ко всем частям неравенства 5, получим

  2 ≤ 3sinx + 5 ≤ 8      (**)

  б) -1 ≤ sinx ≤ 1; возведем все части этого неравенства во 2-ю степень

  0 ≤ sin ² x ≤ 1;

  в) Все члены неравенств (*) и (**) положительны, перемножим их, получим

  0 ≤ sin²x(3sinx + 5) ≤ 8 (***).

  г) прибавим ко всем частям неравенства (***) - 5, получим

  -5 ≤ 3sin³x + 5sin²x - 5 ≤ 3.

  Так как функция f(x) = 3sin³x + 5sin²x - 5 непрерывна на всей области определения и учитывая предыдущие преобразования делаем вывод, что область изменения функции есть множество чисел из промежутка [-5; 3].

  Из определения функции вытекает следующее утверждение: Для любого m из области изменения функции найдется такое число x₀, при котором f(x₀) = m. Воспользовавшись этим утверждением делаем вывод, что для всех m[-5; 3] уравнение 3sin³x = m + 5cos2x имеет корни.

Задание 2. Найти все значения p, при которых уравнение x²+ 4x + p = 0 имеет решение.

 Решение.

 Задание 1 и Задание 2 очень похожи друг на друга, но во втором случае применение метода границ при определении области изменения функции y = x² + 4x создаст трудности связанные с тем, что придется выяснять, чему равно - 0. Эти трудности легко обойти, если вспомнить, что любое квадратное уравнение имеет дискриминант, зная который легко установить есть корни или их нет. Дискриминант вычисляется по формуле: D = b² - 4ac, где a, b, c - коэффициенты квадратного трехчлена ax² + bx + c.

  Если D/4 > 0, то D 0 (свойства неравенств).

  D/4 = 2² - p = 4 - p.

  Если D0 квадратное уравнение имеет корни. Таким образом для того, чтобы определить знак дискриминанта нам нужно решить неравенство 4 - p 0 относительно p. Решая это неравенство, получаем p 4, таким образом, если p ( -; - 4], то квадратное уравнение x² + 4x + p = 0 имеет корни.

Задание 3. Найдите все значения p, при которых уравнение sin²x + 4sinx + p = 0 имеет корни.

 Решение.

 1-й способ.

 sin²x + 4sinx = - p

  Рассмотрим функцию y = sinx(sinx+4)

  -1sinx1;

  3sinx + 45;

 -3sinx(sin x + 4)5; (мы неравенства перемножили, умножение неравенств необходимо производить на двух промежутках [-1;0] и [0;1], на первом промежутке все слагаемые отрицательные, а на втором - положительные, при x = 0 функция принимает значение 0).

  Если p[-5; 3], то уравнение sin²x + 4sinx + p = 0 имеет корни.

 2-й способ.

  Пусть t = sinx, тогда получим квадратное уравнение с параметром t² + 4t +p = 0. Как мы уже установили в решении Задания 2, это уравнение имеет корни, если p( -; - 4], причем t₁ = -2 -и t₂ = -2 +. Уравнение sinx = a имеет корни, если -1 a 1, следовательно, нам необходимо решить еще два неравенства:

  -1 -2 -1; (*)

  -1-2 +1; (**)

  Неравенство (*) решений не имеет, так как выражение -2 - при любых p ≤ 4 принимает отрицательные значения не большие -2. (легко проверить перебором нескольких значений p = 4, 3,... ).

 Преобразуем неравенство (**):

 13 (к трем частям двойного неравенства прибавили 2)

 1 4 - p 9; (все три части двойного неравенства положительны, поэтому их можно возвести в квадрат}

 -3 - p 5; (прибавим к трем частям неравенства -4)

 -5 ≤ p ≤ 3; (умножаем встри части двойного неравенства на -1, меняя знак неравенства)

 Таким образом, если p[-5; 3], то уравнение sin²x + 4sinx + p = 0 имеет корни.