Решение неравенств (метод подстановки).
Подстановкой в математике называется введение новой переменной. Подстановка позволяет свести решение неравенства или уравнения к двум или нескольким более простым неравенствам или уравнениям. Решая неравенство
f(x) < 0 (>,,), можно сделать подстановку либо в самим неравенстве, либо при решении уравнения f(x) = 0 (третий шаг метода интервалов). Поясним это на примере. Достаточно часто, используя метод постановки, удается понизить степень уравнения или неравенства.
Пример 1. Решить неравенство х4 - х2 - 20.
Решение 1.
Пусть t = х2. После такой подстановки получится неравенство t2 - t - 20, которое мы решим методом интервалов.
ОДЗ: tR.
t2 - t - 2 = 0,
t1 = -1, t2 = 2.
f(t) = t2 - t - 2; эта функция непрерывна на всей области определения.
f(3) = 32 - 3 - 2 = 4 > 0;
Таким образом, функция f(t) = t2 - t - 2 - t - 2 - t - 2 принимает значения небольшие 0, если -1t2. Осуществим обратный переход к переменной x, тогда -1x22. Это двойное неравенство равносильно системе неравенстви, следовательно, x[-;].
Решение 2. Решим неравенство x4 - x - 20 методом интервалов.
ОДЗ: xR.
Решим биквадратное уравнение х4 - x2 - 2 = 0.
Пусть t = x2 , t2 - t - 2 = 0, отсюда t1 = - 1, t2 = 2.
Производим обратный переход к переменной x.
x2= -1 (нет корней); x2 = 2, x1 = -, x2 =.
Вычисляем значения функции f(x) = x 4 - x2 - 2,
f(2) = 24 - 22 -2 >0;
f(0) = 04 - 02 - 2 < 0;
f(-2) = (-2)4 - (-2)2 - 2 >0.
Таким образом функция f(x) принимает неположительные значения на промежутке [-;].
Ответ: x[-;].
Решение 1 дает возможность свести биквадратное неравенство к квадратному
t2 - t - 20. Далее решение этого неравенства нужно "перевести с языка t на язык х". В этом и преимущество, и недостаток решения 1. Неравенство сводится к относительно простому, но переход от х к t может вызвать затруднения. Например, если бы t = х +, то пришлось бы решать систему
Решение 2 хорошо тем, что оно дает окончательный ответ. Недостаток этого способа: при решении более сложных примеров есть опасность ошибиться в вычислениях знака функции на интервалах знакопостоянства.
Пример 2. Решить неравенство7 - x.
Решение.
При решении неравенств, содержащих квадратные корни, необходимо помнить, что возведение в квадрат обеих частей неравенства, сохраняя знак неравенства, можно лишь тогда, когда обе части неравенства принимают неотрицательные значения. Если же обе части неравенства принимают неположительные значения при возведении в квадрат необходимо изменить знак неравенства на противоположный. В перечисленных случаях возможны появления посторонних решений. Возведение неравенства в квадрат в тех случаях, кода части неравенства имеют противоположные знаки, т. е. одна часть принимает неотрицательные значения, а другая неположительные значения может привести к потере решений.
Введем вспогательную переменную. Пусть t =, где t0, (из определения квадратного корня)
тогда t2 = x + 5; откуда x = t2 - 5 и имеем неравенство t7 - t2 + 5;
t2 + t - 120;
ОДЗ: tR.
t2 + t - 12 = 0;
t1 = -4; t2 = 3.
f(t) = t2 + t - 12; эта функция непрерывна на всей области определения. Формулу, задающую функцию, удобнее записать так f(x) = (x - 3)(x + 4).
f(4) =4 2 + 4 - 12 = 8 >0;
Таким образом, функция f(t) = t2 + t - 12 принимает значения небольшие 0, если -4t3. Так как t0, то 0t4. Осуществим обратный переход к переменной x, тогда
03. Так как все части неравенства неотрицательны, то возведем их в квадрат 0x + 59, откуда -5x4 и, следовательно,
x[-5; 3].
Ответ: x[-5; 3].
Пример 3. Решить неравенство 2x2 - 8x + 6 >.
Решение.
В левой части неравества вынесем 2 за скобки 2(x2 - 4x + 3) >и введем вспомогательную переменную.
Пусть t =, тогда t > 0 и 2t2 > t; 2t2 - t > 0; t(2t -1) > 0.
В левой части неравенства задана квадратная функция, в которой старший коэффициент равен 1, а нули 0 и 0,5. Из свойств этой функции следует:
Таким образом неравенство 2t2 > t равносильно неравенству t > 0,5.
Выполняем обратную замену переменных.
> 0,5, где x < 1 или x > 3.
x2 - 4x + 3 > 0,25;
4x2 - 16x + 11 > 0;
D/4 = 64 - 44 = 20, D > 0.
x1 =, x2 =
Нетрудно установить, что 0,5 << 1 и 3 << 3,5.
Таким образом решением исходного неравенства является следующее множество x(-;)(; +).
Ответ: (-;)(; +).
Пример 4. Решить неравенство 2sin2x - 3sinx - 2 < 0.
Решение.
Пусть sinx = t, где t[-1; 1] (1), тогда получим квадратное неравенство
2t2 - 3t - 2 < 0.
Для его решения будем использовать свойства квадратной функции.
1) Её старший коэффициент равен 2.
2) D = 32 - 42(-2) = 9 + 16 = 25, следовательно, D > 0.
3) t1 = -0,5; t2 = 2, поэтому решением неравенства является множество чисел
t(-; - 0,5)(2; +) (2).
Пересечение множеств (1) и (2) есть множество [-1; -0,5).
Произведем обратный переход к переменной х, получим неравенство.
-1sinx < -0,5. Для решения этого двойного неравенства воспользуемся свойствами функции y = sinx.
x(-+ 2k; -+ 2k), где kZ.
Ответ: x(-+ 2k; -+ 2k), где kZ.
Пример 5. Решить неравенство 3> lg() + 2.
Решение.
Так как -х > 0 при x < 0 и= |x|, где |x| = -x при указанных выще условиях, то заданное неравенство, при x < 0, можно заменить равносильным ему неравенством 3> lg(-x) + 2. Пусть t =, получим квадратное неравенство t2 - 3t + 4 < 0.
1) Старший коээфициент квадратного трехчлена положителен.
2) Корни квадратного трехчлена: t1 = 1, t2 = 2.
3) Квадратный тречлен принимает отрицательные значения при 1 < t < 2.
Получаем неравенство 1 << 2. Все три части неравенства положительны, возведем их в квадрат.
1 < lg(-x) < 4;
-1000 < x < -10.
Ответ: (-10000; -10).