Введение в алгебру высказываний.

  Мы будем знакомиться с самым элементарным разделом логики - алгеброй высказываний.

  Исходные объекты алгебры высказываний - это простые (элементарные) высказывания. Мы в дальнейшем будем их обозначать строчными латинскими буквами а, b, с, ..., х, у, z.

  Предполагается, что всякое простое высказывание обладает одним и только одним из двух свойств: оно либо только истинно, либо только ложно. Внутри алгебры высказываний не говорится о том, что такое простое высказывание и что такое «истинность» и «ложность». Однако на первоначаоной стадии изучения этого раздела математики необходимо четко разобраться в том, что такое высказывание. Для этого рассмотрим ряд предложений и выясним какие из них являются высказыванием, а какие нет.

 1. "Число 21 делится на 3";

 2. "Тринадцать меньше пяти";

 3. "Число 201 больше 180 на 21"

 4. 1 это единственный корнь уравнения  x² - 1 = 0";

  Каждое из этих предложений содержит одно утверждение, которое не сложно проверить, выполнив ряд действий или рассуждений, т. е. можно установить истинность или ложность каждого утверждения. Первое и третье утверждения истинны, второе и четвертое ложны. Это примеры высказываний.

  Всякое высказывание является предложением, но далеко не каждое предложение является высказыванием. Вот примеры предложениий, которые высказываниеми не являются.

 1. "Аристотель - грек";

 2. "Число 0,00001 очень мало";

 3. "x больше 3";

 4. "2x + 3 =17";

 5. "Существует ли рациональное число квадрат которого равен 2?"

 Первое и второе предложения неопределенны и нуждаются в дополнительных пояснениях. В первом предложении однозначно сказать, что речь идет об основателе формальной логики, а ни ком-то другои, нельзя. Во втором случае величина числа зависит от рассматриваемой ситуации, в одних случаях это число действительно может оказаться очень малым, а вдругих нет. Третье и четвертое предложения содержат переменную и, следовательно, неопределены. Выяснить истинны они или нет нельзя до тех пор пока не будут известны значения переменной. Пятое предложение вообще ничего не утверждает и поэтому бессмысленно о говорить об истинности или ложности этого предложения.

  1. "Число 30221¹⁵⁷ + 5342³⁴⁵⁶²³ + 1 является простым числом";

  2. "21 мая 2023 г. температура в Москве будет 15-16^o".

 В первом примере для того чтобы выяснить ложность или истинность утверждения нужно выполнить очень большое количество действийи на это прийдется затратить много времени и средств, по теоретически (формально) установить истинность или ложность этого утверждения млжно. Во втором примере в данный момент установить истинность утверждения невозможно, но наступит момент, когда проверка истинности или ложности предложения в общем случае будеь возможна. Поэтому считают, что такие предложения также являются высказываниями.

  Вообще, многие математические утверждения можно считать простыми высказываниями при этом принято считать, что они либо истинны, либо ложны, даже если нам неизвестно, каким из двух свойств данное высказывание обладает. Так, например, «Всякое четное число является суммой двух простых чисел» — высказывание, хотя мы не знаем, каким из двух свойств оно в действительности обладает: это нерешенная проблема Гольдбаха.

 Когда речь идет о высказывании нужно иметь в виду следующее:

 1. Любое высказывание является либо истинным, либо ложным (закон исключенного третьего).

 2. Никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным (закон противоречия).

 3. Предложение, о котором невозможно однозначно решить вопрос, истинно оно или ложно, высказыванием не является.

 Алгебра логики не занимается обоснованием того, почему, тому или иному прлстому (элементарному) высказыванию присваевается значение истинности или ложности, этим занимаются другие разделы математики или науки. Более того алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний, ее интересуют только их значения (истинно или ложно). Такой подход позволяет строить и изучать как угодно сложные (составные) высказывания. Истинность или ложность сложных высказывания зависит ни от каких-то внешних причин, а от простых высказываний и логических связок из которых составлено это сложное высказывание.

  Из простых высказываний с помощью небольшого числа операций строятся сложные высказывания. Операции, называемые логическими связками или логическими функциями, примерно соответствуют тому, что в обыденной речи описывается словами «не», «и», «или», «если..., то» и т. п.

  Сложные высказывания также обладают одним из двух свойств: «быть истинным» или «быть ложным». При этом истинность или ложность сложного высказывания зависит исключительно от истинности или ложности простых высказываний, из которых они с помощью связок получаются и логической опрерации испрльзуемой в составлении сложного высказывания.

  В дальнейшем мы будем пользоваться, почти повсеместно принятой терминологией: свойства истинности обозначать и и ложности обозначать л. Также в дальнейшем мы будем и и л называть значениями истинности высказываний: и - является значением истинности истинных высказываний, а  л есть значение истинности ложных высказываний. При такой терминологии значение истинности сложного высказывания есть функция от значений истинности простых высказываний; такая функция называется логической связкой. Связка полностью может быть описана таблицей, указывающей, какие значения истинности принимает сложное высказывание при различных значениях истинности простых. Такая таблица называется матрицей истинности (или иногда таблицей истинности), соответствующей данной связке.

  1. Отрицание. Эту логическую связку мы будем обозначать a. Если а — высказывание, то а (читается: «не а») также высказывание; оно истинно или ложно в зависимости от того, ложно или истинно высказывание а.

  Таким образом, операция отрицания описывается следующей таблицей:

  Мы видим, что операция в теории высказываний вполне соответствует понятию отрицания в обыденном смысле слова. Если, например, а — высказывание «Число три делит число шесть», то отрицанием a этого высказывания будет «Число три не делит число шесть». Высказывание а при этом истинно, высказывание a — ложно. Если же в качестве высказывания а взять какое-нибудь ложное высказывание, например «Число три делит число пять», то его отрицание a будет высказывание «Число три не делит число пять» — истинное высказывание.

  2. Конъюнкция. В качестве знака для конъюнкции мы будем
употреблять знак -&

  Если, а и b — высказывания, то а&b (читается: «а и b») — новое высказывание; оно истинно тогда и только тогда, когда а истинно и b истинно. В отличие от операции отрицания, зависящей от одного элементарного высказывания, конъюнкция, как и все последующие приводимые нами связки, зависит от двух элементарных высказываний, поэтому они называются двуместными связками, отрицание же — связка одноместная.

  Для задания двуместных связок удобно записывать матрицы истинности в виде таблиц с двумя входами: строки соответствуют значениям истинности одного элементарного высказывания, столбцы — значениям другого элементарного высказывания, а в клетке пересечения столбца и строки помещается значение истинности соответствующего сложного высказывания.

  Как видно, определение операции конъюнкции вполне соответствует обыденному значению союза «и».

 3. Дизъюнкция. В качестве знака для дизъюнкции мы будем употреблять знак V

  Если а и b — высказывания, то а V b (читается: «а или b») — новое высказывание, оно ложное, если а и b ложны; во всех остальных случаях а V b истинно.

  Таким образом, таблица истинности для операции дизъюнкции выглядит так:

  Операция дизъюнкции довольно хорошо соответствует обыденному значению союза «или». Детальный анализ показывает, что в русском языке слово «или» употребляется в двух различных значениях: существуют исключающее «или» и неисключающее «или». Различие состоит в следующей: пусть а и b — два истинных высказывания, например а — «Число три делит число шесть», b — «Число шесть большее чем число три». Следует ли рассматривать сложное высказывание а V b — «Число три делит число шесть или число шесть больше, чем число три» как истинное или как ложное? В обыденной русской речи встречаются оба понимания: утверждение «а или b» может означать, что одно и только одно из предложений а и b истинно, тогда говорят, что слово «или» употребляется в исключающем смысле, или же «а или b» означает, что истинно по меньшей мере одно из предложений (но могут быть истинны оба), в этом случае говорят, что «или» употребляется в неисключающем смысле. Именно неисключающему «или» и соответствует дизъюнкция. Исключающему «или» соответствует, очевидно, таблица  истинности

 А в неисключающем смысле:
«Три делит пять или три больше шести» ложно;
«Три делит шесть или три больше шести» истинно;
«Три делит шесть или три меньше шести» истинно.

  3. Импликация. В качестве знака для импликации будем употреблять знак,

  Если а и b — два высказывания, то аb (читается: «а имплицирует b») — новое высказывание; оно всегда истинно, кроме того случая, когда а истинно, a b ложно. Таблица истинности операции  импликации следующая:

a	b	ab
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

  В импликации аb первый член а называется антецедентом, второй b — консеквентом. Операция  описывает в некоторой мере то, что в обыденной речи выражается словами «Если а, то b», «Из а следует b», «a — достаточное условие для b», но на этой аналогии не следует слишком настаивать. Действительно, учитывая определение импликации, данное выше, и интерпретируя выражение аb как «если а, то b», мы получаем: «Если дважды два — четыре, то трижды три — девять» — истинное высказывание; «Если дважды два — пять, то трижды три — восемь» — истинное высказывание и только высказывание типа «Если дважды два — четыре, то трижды, три — восемь» ложно.

  По определению импликации сложное высказывание аb всегда истинно, если консеквент истинный или если антецедент ложный, что в очень малой мере отражает обыденное значение выражения «Если а, то b» или «Из а следует b». Ни в какой мере не следует рассматривать высказывание импликации как означающее, что антецедент является причиной, а консеквент — следствием в том смысле, как это понимается в естественных науках.

  Несколько позже мы убедимся, что операция импликации достаточно точно выражает понятие логического следования в той форме, как оно употребляется в математике.

  4. Эквиваленция. Для. этой операции мы будем употреблять знак . Операция эквиваленции определяется так: если а и b — два высказывания, то аÛb (читается: «а эквивалентно b»; соответствует словесному выражению «...тогда и только тогда, когда...» — новое высказывание, которое истинно, если либо оба высказывания истинны, либо оба — ложны.

 Из этого определения связки следует, что ее таблица истинности выглядит так:

a	b	ab
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	и

  Введенными пятью связками:   , &, V, , мы ограничимся.

  С помощью уже введенных связок мы можем строить сложные высказывания, зависящие не только от двух, но и от любого числа элементарных высказываний. Отметим в этой связи, что так называемое нестрогое неравенство а b (читается: «а меньше или равно b) представляет собой дизъюнкцию (а < b)V(a = b) оно истинно, если истинно по меньшей мере одно из входящих в него простых высказываний. Хорошими примерами сложных высказываний, встречающихся в школьной практике, являются так называемые двойные неравенства. Так, формула а < b < с означает
(а < b) & (b < с), а, например,

  а < bс означает сложное высказывание (а < b)&((b < c)V(b = с)).

  Делается это аналогично тому, как в элементарной алгебре с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления строятся сколь угодно сложные рациональные выражения. А именно, предположим, что мы уже построили два каких-нибудь сложных высказывания, которые мы ради удобства сокращенно обозначим большими латинскими буквами А и В (при этом мы условимся, что элементарные высказывания следует рассматривать как частный случай сложных). Тогда новые высказывания можно получить, соединив А и В одрим из знаков  &, V, , или же построив высказывание A и заключив результат в скобки. Сложными высказываниями будут, например, высказывания следующего вида:

  ((а b) & (с V а));

  ((аb) (с а)).

  При этом предполагается, что встречающиеся здесь буквы являются сокращенными обозначениями каких-либо высказываний. Таким образом, в принципе зная эти высказывания, можно было бы построить русские фразы, выражающие эти сложные высказывания. Только словесное описание сложных высказываний быстро становится малообозримым, и именно введение целесообразной символики позволяет проводить более глубокое и точное исследование логических связей, между различными высказываниями.

  Располагая значением истинности простых высказываний, легко подсчитать на основании определения связок значение истинности сложного высказывания. Пусть, например, дано сложное высказывание

 (a V с)(b& а))
и пусть входящие в него элементарные высказывания имеют следующие значения истинности: а = л, b = и, с = и. Тогда b V с = и, b & а = л, так что (a V с)(b & а) = л, т. е. рассматриваемое высказывание ложно.