График функции.

  Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х, а на оси ординат - значения функции у = f (х).

Графиком функции y  =  f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

  Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x).

  На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х² — 2х.

  Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

  С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x), то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

  Например, для функции f(х) = х² — 2x с помощью графика (рис. 46) находим    f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

  График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х²— 2х принимает положительные значения при х < 0 и при х > 2, отрицательные - при 0 < x < 2; наименьшее значение функция у = х^{2 -} 2х принимает при х = 1.

  Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению y = f(x). В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, х₁, х₂, x₃ ,..., х_k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

  Таблица выглядит следующим образом:

  Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x). Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

  Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

  Пример 1. Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:

 Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

  На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

  Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

 .

  Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

  Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

  График функции у = |f(x)|.

  Нередко приходится строить график функции y = |f(x)|, где f(х) - заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

  Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х), у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x), имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x), которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х).

  Пример 2. Построить график функции у = |х|.

 Решение.

  Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х < 0 (лежащую под осью х) симметрично отражаем относительно оси х. В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

  Пример 3. Построить график функции y = |x² - 2x|.

Сначала построим график функции           y = x² - 2x. График этой функции - парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51  построен график функции у = |х²—2х|, исходя из графика функции у = х² — 2x

 График функции y = f(x) + g(x)

  Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x).

  Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

  Пусть точки (х₀, y₁) и (х₀, у₂) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х), т. е. y₁ = f(x₀), y₂ = g(х₀). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х₀) + g(x₀) = y1 +y2),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x). и y = g(х) заменой каждой точки (х_n, у₁) графика функции y = f(x) точкой (х_n, y₁ + y₂), где у₂ = g(x_n),  т. е. сдвигом каждой точки (х_n, у₁) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y₁ = g(х_n). При этом рассматриваются только такие точки х_n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x).

  Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

  Пример 4. На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx.

  При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что  f(x) = x, а g(x) = sinx.   Для  построения  графика   функции  выберем  точки    с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения  f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках  и результаты поместим в таблице.

x	-1,5	-	-0,5	0	0,5		1,5	2
f(x) = x	-1,5	-	-0,5	0	0,5		1,5	2
g(x) = sinx	1	0	-1	0	1	0	-1	0
y = x + sinx	1-1,5	-	-1-0,5	0	1+0,5		1+1,5	2

 По полученным резултатам построим точки, которые соединим плавной кривой, которая будет эскизом графика функции   y = x + sinx.